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數(shù)學(xué)學(xué)科論文
摘要 從產(chǎn)生的歷史、研究對(duì)象和研究方法3個(gè)方面說(shuō)明，使高等數(shù)學(xué)的初學(xué)者能夠在初等數(shù)學(xué)即常量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上順利進(jìn)入高等數(shù)學(xué)即變量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué);初等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)史;研究對(duì)象;研究方法
高等數(shù)學(xué)是理、工、經(jīng)、管類各專業(yè)大學(xué)生的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，近年來(lái)有些文科專業(yè)如英語(yǔ)、法律也開(kāi)設(shè)相應(yīng)的文科高等數(shù)學(xué)課程，說(shuō)明高等數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性得到越來(lái)越多人的認(rèn)識(shí)。如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)是人們共同關(guān)注的問(wèn)題。由于高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)所處歷史時(shí)期不同，使得它們的研究對(duì)象、研究方法有著很大的不同。這使得有些學(xué)生在開(kāi)始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)有些迷茫，不明白數(shù)學(xué)怎么突然變了樣子，導(dǎo)致不易入門，對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生抵觸情緒，學(xué)不好高等數(shù)學(xué)。注意是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生順利進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。
1 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)處在不同歷史時(shí)期[1]
數(shù)學(xué)來(lái)源于人類的生產(chǎn)實(shí)踐，又隨著人類社會(huì)的發(fā)展而發(fā)展，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間幾何形狀的科學(xué)，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)歷了幾個(gè)歷史時(shí)期。
1。1 數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期
遠(yuǎn)古時(shí)代至公元前6世紀(jì)，人類處于原始社會(huì)。社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)主要是打獵與采集野果，形成整數(shù)概念，建立簡(jiǎn)單運(yùn)算，產(chǎn)生幾何上一些簡(jiǎn)單知識(shí)。這一時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)是零碎的，沒(méi)有命題的證明和演繹推理。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容基本是這一時(shí)期的數(shù)學(xué)成果。
1。2 常量數(shù)學(xué)時(shí)期
公元前6世紀(jì)至17世紀(jì)上半葉，人類處于原始社會(huì)和封建社會(huì)，對(duì)自然的認(rèn)識(shí)主要限于陸地，依靠感觀認(rèn)識(shí)世界。所以這時(shí)期數(shù)學(xué)研究的主要是常量和不變的圖形，形成比較系統(tǒng)的知識(shí)體系、比較抽象的并有獨(dú)立的演繹體系的學(xué)科。中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》是代表作。中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容基本上是這一時(shí)期的成果。
1。3 變量數(shù)學(xué)時(shí)期
公元17世紀(jì)上半葉至19世紀(jì)20年代，人類處于封建社會(huì)末期資本主義初期，經(jīng)歷了著名的文藝復(fù)興。為了通商的需要，人類開(kāi)始大規(guī)模地、看不見(jiàn)陸地地航海，所以，這時(shí)期數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容是數(shù)量的變化及幾何變換。笛卡爾的解析幾何學(xué)、牛頓—萊布尼茨的微積分及圍繞微積分的理論和應(yīng)用而發(fā)展起來(lái)的一大批數(shù)學(xué)分支，使數(shù)學(xué)進(jìn)入一個(gè)繁榮的時(shí)代。大學(xué)的高等數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容基本上是這一時(shí)期的成果。
1。4 近代數(shù)學(xué)時(shí)期
19世紀(jì)20年代至20世紀(jì)40年代，微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化、近世代數(shù)的問(wèn)世、非歐幾何的誕生、集合論的創(chuàng)立都是這一時(shí)期的成就�？涨暗膭�(chuàng)造精神和嚴(yán)格化是其主要特點(diǎn)。這些理論已進(jìn)入大學(xué)高年級(jí)及研究生的學(xué)位課程中。
1。5 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期
20世紀(jì)40年代至今，以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)的發(fā)明使數(shù)學(xué)得到空前廣泛的應(yīng)用，泛函分析、模糊數(shù)學(xué)、分形幾何、混沌理論等新興數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生。這些理論已進(jìn)入大學(xué)高年級(jí)及研究生的學(xué)位課程中。
2 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不同
以圖形對(duì)照的形式說(shuō)明二者的區(qū)別和聯(lián)系，如圖1所示（左側(cè)為初等數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容，右側(cè)為高等數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容）。
3 舉3個(gè)例說(shuō)明高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在思想方法上的區(qū)別與聯(lián)系
【例1】曲線的切線
初等數(shù)學(xué)給出圓的切線是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，曲線的切線顯然不能照此定義，曲線的切線定義為割線的極限位置。如曲線的切線斜率是多少？（見(jiàn)圖2）
割線斜率的定義與計(jì)算屬初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，在割線斜率的基礎(chǔ)上考慮M點(diǎn)沿曲線無(wú)限靠近P（0，5）點(diǎn)，從而得到P點(diǎn)的切線的斜率，這一定義與方法屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。
【例2】曲邊形的面積
求由x軸，x=1，y=x2所圍圖形的面積。
如圖3所示，用曲邊三角形內(nèi)n個(gè)小矩形的面積和來(lái)近似曲邊三角形的面積，得出面積的近似值。
曲邊三角形面積近似值的求法與計(jì)算屬初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，在近似值基礎(chǔ)上讓n趨于無(wú)窮從而求得準(zhǔn)確值的方法屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。
【例3】無(wú)限項(xiàng)求和
上述3個(gè)例子，例1體現(xiàn)了微分學(xué)的思想，例2體現(xiàn)了積分學(xué)的思想，例3體現(xiàn)了無(wú)窮級(jí)數(shù)的思想。從例子可看出：用初等數(shù)學(xué)的方法解決這類問(wèn)題，只能得到近似值，得不到最終答案;要得到精確答案，必須在一個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程中來(lái)考察問(wèn)題，這正是高等數(shù)學(xué)的思想方法。
總之，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別在于研究對(duì)象和方法上的不同：初等數(shù)學(xué)研究的是規(guī)則、平直的幾何對(duì)象和均勻有限過(guò)程的常量，亦稱常量數(shù)學(xué)，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問(wèn)題;高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上研究的是不規(guī)則、彎曲的幾何對(duì)象和非均勻無(wú)限變化過(guò)程的變量，思想方法上是在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問(wèn)題，也就是極限的方法。
高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)因其所處歷史時(shí)期不同，因此研究對(duì)象不同，研究方法不同。人們要隨著這種不同轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)時(shí)的思想方法，把初等數(shù)學(xué)的片面、孤立、靜止的思想方法轉(zhuǎn)變成在變化運(yùn)動(dòng)中考慮問(wèn)題的極限方法，這樣就能很快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，迅速入門，學(xué)好高等數(shù)學(xué)。
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